Problemin Tanımı

Burada verilmiş olan verilerin lineer ayrıştırılıp ayrıştırılamadığı kontrol edilecektir. Bunun sonucunda ortaya çıkan sistemin lineer ayrıştırılamaz olduğu durumda bunun üstesinden nasıl gelinebileceği üzerine çalışılıp uygulamalı olarak bu ayrıştırma işlemi gerçekleştirilecektir.

Verilerin incelenmesi

Öncelikle verilen verilerin önceki soruda kullanmakta olduğumuz Perceptron içerisinde eğitime tabi tutulması yoluyla lineer ayrıştırılıp ayrıştırılamayacağı anlaşılabilmektedir. Ancak belirli bir iterasyon değeri sınır konmaktadır. Bu sınır için önceki sorudan elde ettiğimiz deneyimlerle 100 değerini belirledik.

Verilen noktalar için 100 iterasyon sonucunda sonuç alınamadı demek ki veriler lineer ayrıştırılabilir değildirler. Bunu aslında görmekte oldukça kolaydır. Aşağıdaki grafite noktaların dağılımları açık şekilde seçilmektedir.

Bu tarz bir sistem 2 boyut üzerinde alışılmış şekilde bir doğru denklemi bularak ayrılamamaktadır. Bu durumda daha farklı şekilde probleme bakarak çözme yoluna gitmemiz gerekmektedir.

Burada boyut dönüşümü yaparken göz önüne almamız gereken parametreleri belirtecek olursak

• ·         Farklı gruplara ait noktaların kohezyonu
• ·         Boyut sayısı

Burada ilk olarak bahsedilmek istenen farklı noktaların dönüşüm sonucu lineer ayrıştırılabilir hale getirilmesinin yanında bunların birbiri ile olan yakınlıklarıdır. Lineer ayrıştırılabilir olmanın yanında eğitim sonucunda elde edilecek sonucun ne kadar test kümesinde iyi sonuç verdiği de önemlidir. İlk soruda da incelediğimize göre farklı gruplara ait noktaların birbirinden ayrık olmaları sonuçlarımız açısından iyi olmaktadır.

Boyut sayısı da önemli bir parametredir çünkü işlem yükü bununla orantılı olarak artmaktadır. Eğer işlerimizi 2 boyutta çözebilirsek bunun avantajları ayrı olmaktadır. Eğer daha üst boyutlara düşürmek gerekirse bu durumda dezavantajlar görülmektedir. Özellikle İmge İşleme uygulamalarında boyut sayısı fazla olmaktadır. Bunun düşürmek önemli olduğundan bu alanda çalışmalar yapılmaktadır. Bu çalışmalar arasında özniteliklerin daha uygun seçilmesinden, bu özniteliklerin oluşturduğu uzaydaki manifoldların nasıl boyut düşürme ile basitleştirilebileceği üzerine çalışmalar yapılmaktadır.

Bizim uygulamamız içinde noktaların 2 boyutta ve 3 boyutta nasıl lineer ayrıştırılabilir hale getirileceklerini inceleyeceğiz.

3 Boyutta Lineer ayrıştırılabilir yapı

Burada kullanabilecek çok farklı miktarda yapı vardır bunların içinden belirlenecek dönüşümün kolaylığı ve işlem yükü göz önünde bulundurulabilir.

Benim bu soru içerisinde kullandığım dönüşümde X ve Y koordinatlarını kullanarak  şeklinde bir dönüşüm ile 3. Boyuta ait Z koordinatı elde edilmeye çalışılacaktır. Burada 2 boyutta ayrılamayan sistemin 3 boyutta ayrılabilir olmasında Z ekseninde var olan bir değişimle sağlamak mümkündür.

Burada şeklinde bir yapı kullanılabilir.

Bunun sonucunda noktalarımızın 3 boyuta transform edilmiş halleri ise

Bu 3 boyutta dönüşüm yapmak için kullanılabilecek yollardan sadece birisidir. Bunun gibi pek çok dönüşüm ile sistemin ayrılması mümkündür.

Bu uygulamada ek olarak eklenen katmandaki nöronların aktivasyon fonksiyonunda X ve Y parametrelerinin korunması uygun görülmüştür. Bunun dışında yeni eklenen fazladan boyut için olan parametrede ise X ve Y koordinatının kareleri toplamı olacak şekilde seçilmesi uygun görülmüştür.

2 Boyutta Lineer ayrıştırılabilir yapı

İki boyutta lineer ayrıştırılabilirlik önceki yapıdakinin aksine boyut dönüşümüne gerek kalmaksızın sistemin lineer ayrıştırılmasını sağlamaktadır. Burada sistemler arasında bir dönüşüm bulunması diğer sistemlere daha zor olmaktadır. Bu nedenle önceki yöntem kadar tercih edilmez ancak EXOR problemi ve bizim örneğimiz gibi meşhur örneklerde 2 boyutta dönüşüm kullanılması daha kolay olmaktadır.

Burada benim önerdiğim dönüşüm kutupsal koordinatlarda  gibi bir yapı uygulamaktır.

Bu dönüşüm sistem üzerinde uygulandığında ise;

Burada görüldüğü gibi sistemi 2 boyut üzerinde de ayırmak mümkün olmuştur ancak her zaman bu tarz bir dönüşüm bulmak mümkün olmayabilir. Burada sistemin kutupsal koordinatlara geçirilmesi ve değişkenlerinin açı ve uzaklık cinsinden yazılması sağlanmıştır.

Bu ifadeler ile dönüşüme sokulan dataların lineer olarak ayrıştırılmış hali: